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モンティ・ホール問題

只者舎-P3s- » 日録 » 断片 » モンティ・ホール問題

あるクイズ番組の中の一コーナーの話である。

回答者が三つの閉じているドアの前にいる。
このうち一つは「当たり」でピカピカの新車が入っている。
残りの二つは「外れ」で、山羊が入っている。

回答者は一つのドアを選ぶ。
そのドアが当たりなら、新車は彼のものになる。

回答者が一つドアを選んだところで、司会者(彼がモンティ・ホールらしい)が、選ばれなかったドアの一つを開ける。もちろんそこには山羊が入っている。
......ドアは二つ残っているが、そのタイミングで必ず司会者は回答者に、
「今あなたが選んだドアを変えるか、そのままのドアを選び続けるか」と訊ねるのだ。

ここで回答者が元のドアのままでいた場合と、ドアを交換した場合で、車が当たる確率が変わってくるというのである。ドアを交換した方が、しないより倍の正解率になると言うのだ。

さて、なぜでしょう。

これが、モンティ・ホール問題といわれ、植島啓司の本で知り、面白いと思ったのでNETで調べたところ、どうやら容易にサイトの火種となる問題であるらしいことが分かった。難しい問題なので、これについて何か書くと、たちまちの内に難しい頭の人たちが大挙して書き込みをはじめ、コメントの流れ的に破綻したテキストの大河になってしまうのだ......。おお、コワ......。

解決法も、無数の数式(私にとっては3行以上だと無数なのだ......)を羅列したり、フラッシュで解説したり、さらには結果を確認するアプリケーションを作成した人までいて、何を今さら私などが、という観が横山大観なのだが、あくまでも私なりの理解と言うことで、ここに説明してみたい......。

さて、なぜに外れドアがひとつ開いた後で選択し直すとあたる確率が増えるのか。

最初にドアをひとつ選んだときにそのドアが当たりである確率は三分の一だった。

さぁ、これは誰も文句がないであろう。問題は次なのだ。

次に外れのドアがひとつ開けられたときに、自分の選んだドアのあたる確率はまだ三分の一である。

えー、これがOKなら、この問題は解決なのだ。さぁ、どうでしょう。今では閉じられているドアは二つなのだから、確率は2分の1ですか?
しかし、自分が選んだドアが当たりか外れかは、選択を変えていないのだから、先ほどの時点と変わっていない。 
ならば、ドアが二つになった今もその確率は変わらず三分の1になる。

しかしこの段階でドアは二つ。その一方のドアのあたる確率が三分の1なので、残ったドアの確率は三分の2になる、と。

ということで、私的にはこの問題が解けたのですが、どんなもんでしょうな?
(一応、ちゃんと統計を取ると、ちゃんと、選び直した場合の方があたる確率が、そのままでいた場合の倍近くになるそうです)

いやいや、人生は不思議です......。


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